Matematika sma

MODUL

MATEMATIKA

KELAS XII. IPA

SEMESTER I

Muhammad Zainal Abidin Personal Blog

SMAN 1 Bone-Bone | Luwu Utara | Sulsel

http://meetabied.wordpress.com

PROGRAM LINEAR

Standar Kompetensi :

Menyelesaikan program linear

Kompetensi Dasar :

·         Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel

·         Merancang model matematika dari masalah program linear

·         Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya

BAB I.  PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Dalam modul ini Anda akan mempelajari penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel, menentukan nilai optimum dari fungsi tujuan dengan metode uji titik pojok, merancang model matematika dari program linear, dan menyelesaikan model matematika dari program linear.

B. Prasyarat 

Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut:

1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.

2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan,

     kembalilah mempelajari materi yang terkait.

3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

4.  Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah,

     kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan

     membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

D. Tujuan Akhir 

Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:

1.  Menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

2.  Menentukan fungsi objektif dan kendala dari program linear.

3.  Menggambar daerah visibel dari program linear.

4.  Merumuskan model matematika dari program linear.

5.  Menentukan nilai optimum dari fungsi objektif dan menafsirkannya.

BAB II.  PEMBELAJARAN

A. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel

     Bentuk umum :

     ax + by < c

     ax + by > c

     ax + by  c

     ax + by  c

     x, y adalah variabel

     a, b, dan c  R

     Contoh : Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 4y  8

     Jawab  :

Menentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y dengan membuat tabel sbb :

x	0	4
y	2	0

y

Jadi titik potong dengan sumbu x (4,0) dan dengan sumbu y (0,2)

 

x

4

          DP

         

Dari gambar diatas terlihat bahwa daerah penyelesaian (DP) untuk pertidaksamaan 2x + 4y  8

B.  Menentukan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan liniear dengan dua variabel.

     Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel.

    

     Contoh :

     Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear

     x + y  5

     x + 2y  6

     x  0

     y  0

     Jawab :

     x + y  5                            

x	0	5
y	5	0

     x + 2y  6

x	0	6
y	3	0

y

    

x

             DP

 

Tugas I

1.  Gambarlah pada bidang cartesius, himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut :

     a.  3x + y  6, 5x + 4y  20, x  0, y  0

     b.  2x + y  10, 3x + 2y  18, x  0, y  0

     c.  x – y  3, x + 2y  4, y  2

y

2.  Tulislah sistem pertidaksamaan dari daerah penyelesaian berikut :

     a.

 

                       DP

 

y

     b. 

 

y = 2

                                  DP

 

B.  Menentukan fungsi tujuan dan kendala dari program linear

     Program linear adalah suat metode atau suatu cara untuk memecahkan masalah menjadi optimal (maksimum atau minimum) yang memuat batasan-batasan yang dapat diubah atau diterjemahkan ke dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear. Penyelesaian pertidaksamaan linear terdapat dalam daerah himpunan penyelesaian. Dari beberapa penyelesaian terdapat satu penyelesaian terbaik yang selanjutnya disebut penyelesaian optimum dari suatu fungsi. Fungsi ini disebut dengan fungsi tujuan atau objektif.

     Model matematika adalah rumusan matematika yang berupa persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi yang diperoleh dari hasil penafsiran atau terjemahan suatu masalah ke dalam bahasa matematika.

     Contoh :

     Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas 48 buah tempat duduk yang terbagi dalam dua kelas yaitu kelas A dan kelas B. Setiap penumpang kelas A diberi hak yaitu membawa barang 60 kg, sedang penumpang kelas B diberi hak membawa barang hanya 20 kg, tempat bagasi paling banyak dapat memuat 1440 kg. Bila banyaknya penumpang kelas A sebanyak x orang sedang kelas B sebanyak y orang. Tentukan model matematikanya.

     Jawab :

	Kelas A	Kelas B
Bagasi	60 kg	20 kg
Penumpang	x orang	y orang

     Bagasi               :        60x + 20y  1440                 3x + y  72

     Penumpang        :        x + y  48

     Banyak  penumpang tidak pernah negatif :  x  0, y  0

     Sehingga diperoleh model matematikanya adalah :

     3x + y  72

     x + y      48

     x            0

     y            0

Tugas II

1.  Suatu perusahaan merencanakan membangun rumah untuk 600 orang. Banyaknya rumah yang akan dibangun tidak lebih dari 120 buah. Rumah jenis I biaya sewanya Rp. 100.000,- tiap bulan dan ditempati 4 orang, rumah jenis II biaya sewanya Rp. 125.000,- tiap bulan dan ditempati oleh 6 orang. Buatlah model matematikanya.

2.  Sebuah pabrik membuat sepeda motor dan sepeda gunung setiap bulan dapat membuat sebanyak-banyaknya 100 sepeda gunung, sedangkan sepeda motor dapat dibuat sedikitnya 20 buah dan sebanyak-banyaknya 70 buah tiap bulan. Kapasitas produksi pabrik sebanyak-banyaknya 150 buah kendaraan dalam sebulan. Jika harga setiap sepeda motor 5 juta rupiah dan harga sepeda gunung 1 juta rupiah.

     a.  Buatlah model matematikanya

     b.  Tentukan daerah penyelesaian yang sesuai

3.  Seorang petani memerlukan zat kimia unsur A, B, dan C sebanyak 60 kg, 120 kg, dan 50 kg untuk memupuk kebun sayurnya. Dalam setiap kaleng pupuk cair mengandung zat A = 1 kg, zat B = 3 kg, dan zat C = 1 kg. Pupuk kering tiap kantong mengandung zat A = 2kg, zat B = 2 kg, dan zat C = 1 kg. Harga 1 kantong pupuk cair Rp. 30.000,- sedangkan pupuk kering Rp. 25.000,-

     a. Buatlah model matematikanya

     b.  Tentukan daerah penyelesaiannya

4.  Seorang tukang parkir mengelola lahan parkir seluas 588 m², diperuntukkan untuk menampung kendaraan jenis bus dan sedan. Luas rata-rata untuk parkir bus adalah 24 m², sedangkan untuk sedan memerlukan 6 m². Lahan parkir tersebut tidak mampu menampung sedan dan bus melebihi 38 kendaraan. Tentukan model matematika dari permasalahan diatas.

4.  Menentukan nilai optimum dari fungsi tujuan (fungsi ogjektif) dengan metode uji titik pojok.

     Fungsi tujuan atau objektif dapat dinotasikan f(x,y) = ax + by.

     Nilai optimum dari bentuk f(x,y) = ax + by dilakukan dengan cara menghitung nilai f(x,y) = ax + by untuk setiap titik pojok (titik sudut) dari daerah penyelesaian (DP), kemudian dibandingkan yang selanjutnya ditetapkan nilai terbesar sebagai nilai maksimum dan nilai terkecil sebagai nilai minimum.

     Contoh :

     Seorang pedagang mempunyai dagangan rokok merk A dan merk B. Rokok A dibeli dengan harga Rp. 6000,- per bungkus dan dijual dengan laba Rp. 400,- per bungkus, sedangkan rokok B dibeli dengan harga Rp. 3000,- per bungkus dan dijual dengan laba Rp. 300,- per bungkus. Pedagang itu hanya mempunyai modal Rp. 240.000,- dan kiosnya hanya dapat menampung paling banyak 500 bungkus rokok.

a.      Berapakah banyak rokok A dan B yang harus dibeli agar mendapat untung yang sebanyak-banyaknya (maksimum)

b.     Tentukan besar keuntungan maksimumnya

Jawab :

Model matematikanya

Rokok	Jumlah	Harga	Laba
A	x	6000	400
B	y	3000	300
Persediaan	500	240.000

     Fungsi tujuan : Untung = 400x + 300y

     Sistem pertidaksamaan linearnya :

     x + y  500

     6000x + 3000y  240.000               2x + y  800

     x  0

     y  0

     Daerah himpunan penyelesaian

     x + y = 500

x	0	500
y	500	0

     2x + y = 800

x	0	400
y	800	0

y

    

 

              DP

 

Eliminasi persamaan (1) dan (2)

     x   + y = 500    

     2x + y = 800

    

     - x                 = - 300

       x       =  300

       y       =  200

     Dengan metode uji titik pojok, ditentukan keuntungan maksimum dengan tabel sbb :

Titik pojok	Untung = 400x + 300y
(0, 0)	0 + 0 = 0
(400, 0)	160.000 + 0 = 160.000
(300, 200)	120.000 + 60.000 = 180.000
(0, 500)	0 + 150.000 = 150.000

     Berdasarkan tabel diatas, diperoleh keuntungan maksimum yang dapat dicapai adalah 180.000, dengan rokok A yang dibeli sebanyak 300 bungkus, dan rokok B sebanyak 200 bungkus.

    

     Tugas III

1. Tentukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi sasaran dalam model matematika berikut :         

a.      F(x, y) = 2x + y

x + y   6 ; x + 2y  8 ; x  0 ; y  0

b.  F(x, y) = 2x + 3y

               5x + 3y  30 ; 5x + y  50 ; x + 3y  30 ; x  0 ; y  0

2.     Seorang pedagang roti mempunyai modal 400.000,-. Roti jenis A dibeli dengan harga 1000,- dan roti jenis B dibeli dengan harga 500,-. Sedangkan tempat roti hanya mampu menampung tidak lebih dari 500 buah. Keuntungan tiap roti jenis A 200,- dan keuntungan tiap roti jenis B 150,-.

a.      Hitunglah keuntungan sebanyak-banyaknya.

b.     Berapa sebaiknya roti jenis A dan jenis B yang harus dibeli agar pedagang mendapat keuntungan yang sebanyak-banyaknya.

3.     Seorang pedagang pakaian mempunyai modal 2.475.000,- untuk membeli kemeja dengan harga 30.000,- per buah dan celana 75.000,- per buah. Jumlah kemeja yang ia beli tidak kurang dari tiga kali jumlah celana. Ia mengambil keuntungan 4.500,- untuk setiap potong celana dan 1.500,- untuk setiap potong kemeja.

a.      Berapa kemeja dan celana yang harus dibeli supaya pedagang itu mendapat keuntungan yang maksimum

b.     Hitunglah keuntungan tersebut

4.     Seorang penjaja buah-buahan yang menggunakan gerobak menjual apel dan pisang. Harga pembelian pisang 4.000,- per kg dan apel 10.000, - per kg. Penjaja buah tersebut mempunyai modal 2.500.000,-. Sedangkan muatan gerobak tidak melebihi 400 kg. Jika keuntungan tiap kg apel 2 kali keuntungan tiap kg pisang. Berapa kg apel dan pisang yang harus dibeli agar keuntungan yang diperoleh maksimum.

BAB III  PENUTUP

Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.

DAFTAR PUSTAKA

Pemerintah Kota Semarang, 2006. Matematika Program Ilmu Pengetahuan Sosial, Semarang :

H. Sunardi, Slamet Waluyo, Sutrisno, H. Subagya, 2005. Matematika IPS, Penerbit Bumi Aksara, Jakarta.

Wilson Simangunsong, 2005. Matematika Dasar, Penerbit Erlangga, Jakarta.